Python退火算法在高次方程的应用

脚本专栏 2024/11/26 佚名

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一，简介

退火算法不言而喻，就是钢铁在淬炼过程中失温而成稳定态时的过程，热力学上温度（内能）越高原子态越不稳定，而温度有一个向低温区辐射降温的物理过程，当物质内能不再降低时候该物质原子态逐渐成为稳定有序态，这对我们从随机复杂问题中找出最优解有一定借鉴意义，将这个过程化为算法，具体参见其他资料。

二，计算方程

我们所要计算的方程是f(x) = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9),是一个一元四次方程，我们称为高次方程，当然这个函数的开口是向上的，那么在一个无限长的区间内我们可能找不出最大值点，因此我们尝试在较短区间内解最小值点，我们成为最优解。

解法1：

毫无疑问，数学方法多次求导基本可以解出，但是这个过程较复杂，还容易算错，我就不赘述了，读者有时间自己可以尝试解一下。

解法二：

这个解法就是暴力解决了，我们这里只求解区间[-10,10]上的最优解，直接随机200个点，再除以10（这样可以得到非整数横坐标），再依此计算其纵坐标f（x），min{f(x)}一下，用list的index方法找出最小值对应位置就行了，然后画出图形大致瞄一瞄。

直接贴代码：

 import random
 import matplotlib.pyplot as plt
 list_x = []
 # for i in range(1):
 #   #print(random.randint(0,100))
 #   for i in range(0,100):
 #     print("sss",i)
 #
 #   list_x.append(random.randint(0,100))
 for i in range(-100,100):
   list_x.append(i/10)
 print("横坐标为：",list_x)
 print(len(list_x))
 list_y = []
 for x in list_x:
   # print(x)
   #y = x*x*x - 60*x*x -4*x +6
   y = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
   list_y.append(y)
 print("纵坐标为：",list_y)
 #经验证，这里算出来的结果6.5和最优解1549都是对的
 print("最小值为：",min(list_y))
 num = min(list_y)
 print("最优解：",list_y.index(num)/10)
 print("第",list_y.index(num)/10-10,"个位置取得最小值")
 plt.plot(list_x, list_y, label='NM')
 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line')
 plt.xlabel('X') #横坐标标题
 plt.ylabel('Y') #纵坐标标题
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right")  #图像标题
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out')
 plt.legend()  #显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置
 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')
 plt.show()

得到如下结果：

那么我们得出最优解的坐标是（6.5，-1549.6875），结果先放这里，接下来用退火算法看能不能解出。

解法三：

我们看一张图（解法二中的方法得出的图），然后讲讲退火算法的最核心的思想。

首先，先随机一个[-10.10]之间的随机解，作为初始解空间，比方说随机了一个位于[-2.5.2.5]中最高的那个点就是点1(横坐标为x1)，他有对于的纵坐标的值y1，这时候我们把这个点的横坐标随机加或者减去一个值（注意这个值的大小很重要，我们先叫他随机移动值），加或者减后得到新的横坐标的值x2，再算出这个横坐标的对应纵坐标（y2），对比之前的纵坐标的大小，这里设置

delta = y2-y1，发现无论怎样都是小于原先的纵坐标（前提是随机移动值足够小），这时候我们把新得到的x2赋值给x1，这时候现在的x2的值传给x1，x1是原先随机的值，这个过程可以重复iter_num 次，大小就根据自己的区间来。
上述的整个过程是在一个温度下进行的，这个过程结束后我们用温度更新公式再次的更新温度，再去重复上述步骤。

温度更新我是用的常用的公式是T(t)=aT0(t-1)，其中0.85≦a≦0.99。也可用相应的热能衰减公式来计算，T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,...，这都是简单的状态更新方法。

也就是说，不管你随机的是几我都能朝着优化的方向前进（前提是非最优点）。

其次，点2 是同理的，区别在于他是局部最优解，那么跳出这个局部最优解的机制是什么呢？

若初始点是（x3,y3）,然后用上述方法得出（x4,y4），在点二处得到的delta肯定是大于0的，那么怎么办呢？当大于0的时候我们每次都有一定的概率来接受这个看起来不是最优的点，叫Metropolis准则，具体是这样的：

这里的E就是y，T就是当前温度，delta小于0就是百分百接受新值，否者就是按照这个概率接受，当迭代多次的时候，每次向右移动的步长累加到点1 时候他就有可能找到最终的最优解了，步长是累加的但是概率是累成的，意味着这个概率很小，但是一旦迭代次数多久一定会跑出来到最优解处。

最优，点3不解释了哈，和上面一样。

那么我们上代码：

 #自己改写的退火算法计算方程(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)的计算方法
 #class没啥用
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt
 from matplotlib import pyplot as plt 
 #设置基本参数
 #T初始温度，T_stop，iter_num每个温度的迭代次数，Q温度衰减次数
 class Tuihuo_alg():
   def __init__(self,T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x):
     self.T_start = T_start
     self.iter =iter_num
     self.T_stop = T_stop
     self.Q = Q
     self.xx = xx
     self.init_x = init_x
   # def cal_x2y(self):
   #   return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
 if __name__ == '__main__':
   def cal_x2y(x):
     #print((x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9))
     return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)
   T_start = 1000
   iter_num = 1000
   T_stop = 1
   Q = 0.95
   K = 1
   l_boundary = -10
   r_boundary = 10
   #初始值
   xx = np.linspace(l_boundary, r_boundary, 300)
   yy = cal_x2y(xx)
   init_x =10 * ( 2 * np.random.rand() - 1)
   print("init_x:",init_x)
   t = Tuihuo_alg(T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x)
   val_list = [init_x]
   while T_start>T_stop:
     for i in range(iter_num):
       init_y = cal_x2y(init_x)
       #这个区间(2 * np.random.rand() - 1)本身是（-1,1），所以加上就是一个随机加或者减过程
       new_x = init_x + (2 * np.random.rand() - 1)
       if l_boundary <= new_x <= r_boundary:
         new_y = cal_x2y(new_x)
     #print("new_x:",new_x)
     #print('new_y:',new_y)
         delta = new_y - init_y #新减旧
         if delta < 0:
           init_x = new_x
         else:
           p = np.exp(-delta / (K * T_start))
           if np.random.rand() < p:
             init_x = new_x
       #print("new_x:",new_x)
       #print("当前温度：",T_start)
     T_start = T_start * Q
 print("最优解x是：", init_x)  #这里最初写的是new_x,所以结果一直不对
 print("最优解是：", init_y)
 #比如我加上new_x，真假之间的误差实际就是最后一次的赋值“init_x = new_x”
 print("假最优解x是：", new_x)  #这里最初写的是new_x,所以结果一直不对
 print("假最优解是：", new_y)
 xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary,300)
 yy = cal_x2y(xx)
 plt.plot(xx, yy, label='Tuihuo')
 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line')
 plt.xlabel('X for tuihuo') #横坐标标题
 plt.ylabel('Y for tuihuo') #纵坐标标题
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right")  #图像标题
 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out')
 plt.legend()  #显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置
 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png')
 plt.show()

这里用了class，发现并不需要，但是不想改了，就这样吧。

最优结果为：