爬楼梯(Climbing-Stairs)
题干:
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?注意:给定 n 是一个正整数。示例 1: 输入: 2 输出: 2 解释: 有两种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 2. 2 阶示例 2: 输入: 3 输出: 3 解释: 有三种方法可以爬到楼顶。 1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶 2. 1 阶 + 2 阶 3. 2 阶 + 1 阶来源:力扣
这题爬楼梯算是算法题里面比较经典的。
解题思路
这题的解题思路主要有两种:
1.动态规划
2.斐波那契数列
动态规划算是一个比较重要的解题技巧与思路,后续我会写一系列需要用动态规划思路解题的文章,帮助大家更好的理解动态规划。
这题我们用斐波那契数列来解。
斐波那契数列又称兔子数列,指得是:1、1、2、3、5、8、13、21、……,在数学上它得递推公式是:F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)(n ≥ 3,n ∈ N*)。
放到这个题目中我们可以发现:二阶楼梯的走法有 2种: 1 阶 + 1 阶 、 2 阶三阶楼梯的走法有 3种:1 阶 + 1 阶、1 阶 + 2 阶、2 阶 + 1 阶四阶楼梯的走法有 5种:1 阶 + 1 阶 + 1 阶 + 1 阶、1 阶 + 2 阶 + 1 阶、1 阶 + 1 阶 + 2 阶、2 阶 + 2 阶、2 阶 + 1 阶 + 1 阶……
综上,我们可以发现 n 阶楼梯有 m 种爬法,且 m 符合斐波那契数列规律,所以直接上代码咯!
Go 实现
// 斐波那契数列 // 1 1 2 3 5 8 13 .... func climbStairs2(n int) int { // 1 阶台阶直接返回 1 if n == 1 { return 1 } // 2 阶台阶直接返回 2 if n == 2 { return 2 } current := 2 pre := 1 // 当前台阶的走法是前两个台阶走法之和 for i := 3; i <= n;i ++ { current = current + pre pre = current - pre } return current }
PHP 实现,一共两版实现,看自己喜欢哪种代码吧
function climbStairs($n) { // if($n==1) return 1; // $dp[1]=1; // $dp[2]=2; // for($i=3;$i<=$n;$i++){ // $dp[$i]=$dp[$i-1]+$dp[$i-2]; // } // // return $dp[$n]; if($n <= 2) return $n; $dp = [1 => 1,2 => 2]; foreach(range(3,$n+1) as $v){ //递归加法,这个爬楼梯就是斐波拉切算法求最后f(n-1)+f(n-2)的和 $dp[$v] = $dp[$v-1] + $dp[$v-2]; } return $dp[$n]; }
总结
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