求一个数的平方根函数sqrt(int num) ,在大多数语言中都提供实现。那么要求一个数的平方根,是怎么实现的呢?
实际上求平方根的算法方法主要有两种:二分法(binary search)和牛顿迭代法(Newton iteration)
1:二分法
求根号5
a:折半: 5/2=2.5
b:平方校验: 2.5*2.5=6.25>5,并且得到当前上限2.5
c:再次向下折半:2.5/2=1.25
d:平方校验:1.25*1.25=1.5625<5,得到当前下限1.25
e:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875
f:平方校验:1.875*1.875=3.515625<5,得到当前下限1.875
每次得到当前值和5进行比较,并且记下下下限和上限,依次迭代,逐渐逼近平方根:
import math from math import sqrt def sqrt_binary(num): x=sqrt(num) y=num/2.0 low=0.0 up=num*1.0 count=1 while abs(y-x)>0.00000001: print count,y count+=1 if (y*y>num): up=y y=low+(y-low)/2 else: low=y y=up-(up-y)/2 return y print(sqrt_binary(5)) print(sqrt(5))
运行结果:
1 2.5
2 1.25
3 1.875
4 2.1875
5 2.34375
6 2.265625
7 2.2265625
8 2.24609375
9 2.236328125
10 2.2314453125
11 2.23388671875
12 2.23510742188
13 2.23571777344
14 2.23602294922
15 2.23617553711
16 2.23609924316
17 2.23606109619
18 2.23608016968
19 2.23607063293
20 2.23606586456
21 2.23606824875
22 2.23606705666
23 2.2360676527
24 2.23606795073
25 2.23606809974
26 2.23606802523
27 2.23606798798
2.23606796935
2.2360679775
[Finished in 0.1s]
经过27次二分法迭代,得到的值和系统sqrt()差别在0.00000001,精度在亿分之一,
0.001需要迭代8次
因此,在对精度要求不高的情况下,二分法也算比较高效的算法。
2:牛顿迭代
仔细思考一下就能发现,我们需要解决的问题可以简单化理解。
从函数意义上理解:我们是要求函数f(x)=x²,使f(x)=num的近似解,即x²-num=0的近似解。
从几何意义上理解:我们是要求抛物线g(x)=x²-num与x轴交点(g(x)=0)最接近的点。
我们假设g(x0)=0,即x0是正解,那么我们要做的就是让近似解x不断逼近x0,这是函数导数的定义:
可以由此得到
从几何图形上看,因为导数是切线,通过不断迭代,导数与x轴的交点会不断逼近x0。
对于一般情况:
将m=2代入:
def sqrt_newton(num): x=sqrt(num) y=num/2.0 count=1 while abs(y-x)>0.00000001: print count,y count+=1 y=((y*1.0)+(1.0*num)/y)/2.0000 return y print(sqrt_newton(5)) print(sqrt(5))
运行结果:
1 2.5
2 2.25
3 2.23611111111
2.23606797792
2.2360679775
精确到亿分之一,牛顿法只迭代了3次,是二分法的十倍
3:利用牛顿法求开立方
def cube_newton(num): x=num/3.0 y=0 count=1 while abs(x-y)>0.00000001: print count,x count+=1 y=x x=(2.0/3.0)*x+(num*1.0)/(x*x*3.0) return x print(cube_newton(27))
微积分、概率、线代是高级算法的基础课。可是,这么多年,已经忘得差不多了..............................
总结
以上就是本文关于Python编程实现二分法和牛顿迭代法求平方根代码的全部内容,希望对大家有所帮助。感兴趣的朋友可以继续参阅本站其他相关专题,如有不足之处,欢迎留言指出。
《魔兽世界》大逃杀!60人新游玩模式《强袭风暴》3月21日上线
暴雪近日发布了《魔兽世界》10.2.6 更新内容,新游玩模式《强袭风暴》即将于3月21 日在亚服上线,届时玩家将前往阿拉希高地展开一场 60 人大逃杀对战。
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《强袭风暴》不是普通的战场,作为一个独立于主游戏之外的活动,玩家可以用大逃杀的风格来体验《魔兽世界》,不分职业、不分装备(除了你在赛局中捡到的),光是技巧和战略的强弱之分就能决定出谁才是能坚持到最后的赢家。本次活动将会开放单人和双人模式,玩家在加入海盗主题的预赛大厅区域前,可以从强袭风暴角色画面新增好友。游玩游戏将可以累计名望轨迹,《巨龙崛起》和《魔兽世界:巫妖王之怒 经典版》的玩家都可以获得奖励。
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