使用python和pygame绘制繁花曲线的方法

脚本专栏 2024/11/26 佚名

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前段时间看了一期《最强大脑》，里面各种繁花曲线组合成了非常美丽的图形，一时心血来潮，想尝试自己用代码绘制繁花曲线，想怎么组合就怎么组合。

真实的繁花曲线使用一种称为繁花曲线规的小玩意绘制，繁花曲线规由相互契合大小两个圆组成，用笔插在小圆上的一个孔中，紧贴大圆的内壁滚动，就可以绘制出漂亮的图案。这个过程可以做一个抽象：有两个半径不相等的圆，大圆位置固定，小圆在大圆内部，小圆紧贴着大圆内壁滚动，求小圆上的某一点走过的轨迹。

进一步分析，小圆的运动可以分解为两个部分：小圆圆心绕大圆圆心公转、小圆绕自身圆心自转。设大圆圆心为A，半径为Ra，小圆圆心为B，半径为Rb，轨迹点为C，半径为Rc(BC距离)，设小圆公转的弧度为θ [0,∞)，如图：

因为大圆的圆心坐标是固定的，要求得小圆上的某点的轨迹，需要先求出小圆当前时刻的圆心坐标，再求出小圆自转的弧度，最后求出小圆上某点的坐标。

第一步：求小圆圆心坐标

小圆圆心的公转轨迹是一个半径为 RA- RB 的圆，求小圆圆心坐标，相当于是求半径为 RA- RB 的圆上θ 弧度对应的点的坐标。

圆上的点的坐标公式为：

x = r * cos(θ), y = r * sin(θ)

小圆圆心坐标为：( xa+ (Ra - Rb) * cos(θ), ya + (Ra - Rb) * sin(θ) )

第二步：求小圆自转弧度

设小圆自转弧度为α，小圆紧贴大圆运动，两者走过的路程相同，因此有：

Ra *θ = Rb *α

小圆自转弧度α = (Ra / Rb) *θ

第三步：求点C坐标

点C相对小圆圆心B的公转轨迹是一个半径为 Rc 的圆，类似第一步，有：

轨迹点C的坐标为：( xa+ Rc* cos(θ), ya+ Rc* sin(θ))

按照以上算法分析，用python代码实现如下：

# -*- coding: utf-8 -*-

import math

'''
功能：
  已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
入参：
  center：圆心
  radius：半径
  radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
  return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

'''
功能：
  内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径，已知公转弧度和绕点半径，计算绕点坐标
入参：
  center_A：外圆圆心
  radius_A：外圆半径
  radius_B：内圆半径
  radius_C：绕点半径
  radian：公转弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
  # 计算内圆圆心坐标
  center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
  # 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
  radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
  # 计算绕点坐标
  return get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)

有两点需要注意：

（1）屏幕坐标系左上角为原点，垂直向下为Y正轴，与数学坐标系Y轴方向相反，所以第14行Y坐标为减法；

（2）默认公转为逆时针，则自转为顺时针，所以第30行求自转弧度时，使用了2π - α%(2π)；

坐标已经计算出来，接下来使用pygame绘制。思想是以0.01弧度为一个步长，不断计算出新的坐标，把一系列坐标连起来就会形成轨迹图。

为了能够形成一个封闭图形，还需要知道绘制点什么时候会重新回到起点。想了一个办法，以X轴正半轴为基准线，每次绘制点到达基准线，计算此时绘制点与起点的距离，达到一定精度认为已经回到起点，形成封闭图形。

''' 计算两点距离（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
  return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
  
'''
功能：
  获取绕点路径的所有点的坐标
入参：
  center：外圆圆心
  radius_A：外圆半径
  radius_B：内圆半径
  radius_C：绕点半径
  shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
'''
def get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
  # 转为实数
  radius_A *= 1.0
  radius_B *= 1.0
  radius_C *= 1.0
  
  P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
  R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian/4) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
  
  # 第一圈的起点坐标
  start_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
  points = [start_point]
  # 第一圈的路径坐标
  for r in range(1, R_PER_ROUND):
    points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r))
  
  # 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
  for round in range(1, 100):
    s_radian = round*P2
    s_point = get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
    if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
      break
    points.append(s_point)
    for r in range(1, R_PER_ROUND):
      points.append(get_point_in_child_circle(center, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r))
    
  return points

再加上绘制代码，完整代码如下：

# -*- coding: utf-8 -*-
import math
import random

'''
功能：
  已知圆的圆心和半径，获取某弧度对应的圆上点的坐标
入参：
  center：圆心
  radius：半径
  radian：弧度
'''
def get_point_in_circle(center, radius, radian):
  return (center[0] + radius * math.cos(radian), center[1] - radius * math.sin(radian))

'''
功能：
  内外圆A和B，内圆A沿着外圆B的内圈滚动，已知外圆圆心、半径，已知内圆半径、公转弧度，已知绕点半径，计算绕点坐标
入参：
  center_A：外圆圆心
  radius_A：外圆半径
  radius_B：内圆半径
  radius_C：绕点半径
  radian：公转弧度
'''
def get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, radian):
  # 计算内圆圆心坐标
  center_B = get_point_in_circle(center_A, radius_A - radius_B, radian)
  # 计算绕点弧度（公转为逆时针，则自转为顺时针）
  radian_C = 2.0*math.pi - ((radius_A / radius_B * radian) % (2.0*math.pi))
  # 计算绕点坐标
  center_C = get_point_in_circle(center_B, radius_C, radian_C)
  center_B_Int = (int(center_B[0]), int(center_B[1]))
  return center_B_Int, center_C

''' 计算两点距离（平方和） '''
def get_instance(p1, p2):
  return (p1[0] - p2[0]) * (p1[0] - p2[0]) + (p1[1] - p2[1]) * (p1[1] - p2[1])
  
'''
功能：
  获取绕点路径的所有点的坐标
入参：
  center：外圆圆心
  radius_A：外圆半径
  radius_B：内圆半径
  radius_C：绕点半径
  shift_radian：每次偏移的弧度，默认0.01，值越小，精度越高，计算量越大
'''
def get_points(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian=0.01):
  # 转为实数
  radius_A *= 1.0
  radius_B *= 1.0
  radius_C *= 1.0
  
  P2 = 2*math.pi # 一圈的弧度为 2PI
  R_PER_ROUND = int(P2/shift_radian) + 1 # 一圈需要走多少步（弧度偏移多少次）
  
  # 第一圈的起点坐标
  start_center, start_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, 0)
  points = [start_point]
  centers = [start_center]
  # 第一圈的路径坐标
  for r in range(1, R_PER_ROUND):
    center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, shift_radian*r)
    points.append(point)
    centers.append(center)
  
  # 以圈为单位，每圈的起始弧度为 2PI*round，某圈的起点坐标与第一圈的起点坐标距离在一定范围内，认为路径结束
  for round in range(1, 100):
    s_radian = round*P2
    s_center, s_point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian)
    if get_instance(s_point, start_point) < 0.1:
      break
    points.append(s_point)
    centers.append(s_center)
    for r in range(1, R_PER_ROUND):
      center, point = get_point_in_child_circle(center_A, radius_A, radius_B, radius_C, s_radian + shift_radian*r)
      points.append(point)
      centers.append(center)  
  print(len(points)/R_PER_ROUND)    
  return centers, points

import pygame
from pygame.locals import *

pygame.init()
screen = pygame.display.set_mode((600, 400))
clock = pygame.time.Clock()

color_black = (0, 0, 0)
color_white = (255, 255, 255)
color_red = (255, 0, 0)
color_yello = (255, 255, 0)

center = (300, 200)
radius_A = 150
radius_B = 110
radius_C = 50

test_centers, test_points = get_points(center, radius_A, radius_B, radius_C)
test_idx = 2
draw_point_num_per_tti = 5

while True:
  for event in pygame.event.get():
    if event.type==pygame.QUIT:
      pygame.quit() 
      exit(0)
  
  screen.fill(color_white)
  
  pygame.draw.circle(screen, color_black, center, int(radius_A), 2)
  
  if test_idx <= len(test_points):
    pygame.draw.aalines(screen, (0, 0, 255), False, test_points[:test_idx], 1)
    if test_idx < len(test_centers):
      pygame.draw.circle(screen, color_black, test_centers[test_idx], int(radius_B), 1)
      pygame.draw.aaline(screen, color_black, test_centers[test_idx], test_points[test_idx], 1)
    test_idx = min(test_idx + draw_point_num_per_tti, len(test_points))
  
  clock.tick(50)
  pygame.display.flip()

效果：